Relation entre produit et approximation


L'approximation linéaire de fonctions par des fonctions d'échelle est bien connue grâce aux conditions de Strang et Fix. Les choses sont un peu plus compliquées lorsqu'on multiplie les fonctions entre elles.

Comme bien souvent, il est plus simple de commencer par la base de Haar.
Soit
f un polynôme, u un signal, e sa projection sur une résolution, c'est-à-dire la suite de ses moyennes sur des intervalles contigüs. On pose w=u-e, et on note E l'opérateur de projection obtenu par moyennisation du signal. On a alors la relation



qui est une formule simple présentant une interprétation en termes de statistiques empiriques assez agréable.

Malheureusement, la capacité de la base de Haar à approximer des fonctions régulières est des plus médiocres. Si on considère maintenant un projecteur d'approximation
E plus général, il se trouve que la relation si dessus est équivalente à deux conditions très simples sur le produit de deux projection, et sur le produit d'une projection avec le complémentaire d'une projection w.

La première condition dit que le produit de deux approximations doit être encore dans l'espace des approximations. Cela n'est pas possible pour des fonctions d'échelles générale, en dehors de la fonction de Haar. Cela est essentiellement dû au recouvrement des fonctions de base entre elles.

Remarquons que nous manipulons ici des approximations. Il est donc tout a fait raisonnable de remplacer le produit fonctionnel ordinaire par un produit approximatif. Ces approximations de produit sont caractérisées par une condition de type Strang et Fix (reproduction de polynômes). Si on se restreint au produit de fonctions polynomiales par morceaux, alors les produits approximatifs sont entièrement caractérisés (et de manière constructive) par le choix d'une interpolation d'Hermite.

On peut alors dans ce cadre caractériser tous les espaces invariants par produit et construire une suite de projecteurs approximants avec des espaces de détails associés. On retrouve alors la formule ci-dessus reliant produit et projecteur.

Vous trouverez un article de journal correspondant
ici, ainsi qu'un rapport détaillant des résultats annexes ici.