Contrôle optimal

Mes premières recherches on porté sur le contrôle optimal, notamment sur les techniques de moyennisation en contrôle optimal. Dans cette formulation, le système est paramétré par deux variables temporelles, l'une rapide, et l'autre lente. Le point de vue est purement asymptotique, en ce sens qu'il ne donne de résultat que lorsque le rapport entre les deux variables de temps tend vers l'infini. Cette situation était très frustrante, et je fus très intéressé par les analyses multirésolutions parce qu'elle fournissait une décomposition entre moyennes locales et oscillations autour de ces moyennes. C'est ainsi que je me suis intéressé aux ondelettes.

Plus récemment, j'ai étudié avec
Nicolas Petit le contrôle optimal de systèmes plats ou linéarisables par feedback (même partiellement). En l'absence de contrainte, les équations de stationnarité, primales et duales, ont une structure chaînée, qui permet de se ramener à un système d'équations d'ordre élevé et concernant un nombre réduit de variables. Cette formulation conduit à des algorithmes de résolution plus rapides et plus précis que les méthodes obtenues à partir d'une forme d'état. Ce résultat se base sur une étude théorique (Ascher et al.) et sont confirmés numériquement. L'article de journal se trouve ici.
La même méthode s'applique au calcul de contrôle optimal le long d'arcs singuliers.
On trouvera ici un
article de conférence qui résume ces résultats.

Avec
Paul Malisani et Nicolas Petit nous avons étudié, de manière constructive, l'utilisation des méthodes de points intérieurs sur des problèmes de commande optimale, avec contraintes sur le contrôle et et sur l'état. Comme dans le cas de dimension finie, le principe consiste à remplacer le problème d'origine sous contraintes par une suite de problèmes pénalisés, le poids affecté aux pénalités tendant vers zéro. Le premier résultat montre que le choix d'une pénalité adaptée sur l'état garantit (pour une commande bornée) que l'état soit à l'intérieur des contraintes pour avoir un coût fini. Le second résultat montre, qu'en ajoutant une pénalité bien choisie sur la commande, état et commande optimaux doivent être intérieurs. Profitant de ce résultat, on généralise les fonctions de saturations de Knut Graichen et al. pour se ramener à un problème pénalisé totalement sans contrainte. On trouvera des publications ici, ainsi qu'une version détaillée dans la thèse de Paul Malisani, avec une application à la gestion optimale du chauffage de bâtiments.